Riemannin integraali perustuu integroitavan funktion jakamiseen paloihin tihenevässä jaossa ja on siten helppo ymmärtää. Se on kuitenkin teoreettisesti hyödytön, koska sillä on rajoituksia, jotka voidaan ohittaa käyttämällä esimerkiksi Lebesguen integraalia, joka saa Riemann-integroituvilla funktioilla samat arvot.
Riemannin integraali oli ensimmäinen funktiolle reaaliakselin välin yli muodollisesti määritelty integraali. Se on nimetty kehittäjänsä Bernhard Riemannin mukaan.
Tämä määrittely tehdään jakamalla väli [a,b] osaväleihin, joita sitten tihennetään äärettömästi. Jokaisella osavälillä suoran y = 0 ja käyrän y = f(x) väliin jäävää pinta-alaa approksimoidaan suorakaiteella. Jaon tihentyessä suorakaiteiden pinta-alojen summan pitäisi supeta kohti kysyttyä pinta-alaa. Riemannin integraalissa suorakaiteen korkeudeksi valitaan funktion f arvo osavälin mielivaltaisessa pisteessä, jolloin jokaista jakoa vastaavan kuvion pinta-ala on niin kutsuttu Riemannin summa. Tässä annetaan kuitenkin myös Darboux’n integraalin määritelmä, missä valitaan kaksi suorakaiteen korkeutta, jotka ovat funktion f maksimi ja minimi kullakin osavälillä, ja sen jälkeen tutkitaan, suppenevatko kyseiset pinta-alat, niin kutsutut Darboux’n ylä- ja alasumma, toisiinsa.
nimestään huolimatta ole geometrinen ulottuvuus samassa mielessä kuin meidän käsittämämme Euklidiset ulottuvuudet. Hausdorffin dimensio kuvaa tutkittavan kuvion itsesimilaarisuusastetta, eli sitä, kuinka ”itseääntoistava” tutkittava kuvio on. Oletetaan, että kuvio F jakautuu itse kuvion kanssa samanlaisiin pienempiin osiin, joita on n kappaletta ja joiden koko on 1 / ? koko kuvion koosta. Tällöin
Tällöin kyseistä raja-arvoa kutsutaan funktion f Darboux’n integraaliksi yli välin [a,b].
Funktio on Darboux-integroituva jos ja vain jos se on Riemann-integroituva. Yleinen tapa tarkastaa, onko funktio Riemann-integroituva, onkin verrata sen Darboux’n ylä- ja alaintegraalin arvoja. Lisäksi Darboux’n integraalin arvo on sama kuin Riemannin integraalin, toisin sanoen jos f on Darboux- eli Riemann-integroituva, niin
